LINEAS DE INFLUENCIA

INTRODUCCIÓN

Un principio fundamental del cálculo estructural es diseñar elementos de tal manera que cada sección del elemento pueda resistir las máximas solicitaciones producidas por las cargas que actúan sobre el. En consecuencia, cuando hay cargas móviles o movibles es de vital importancia averiguar la posición crítica de dichas cargas que generan las máximas respuestas.

En cursos anteriores desarrollamos procedimientos para el análisis de fuerzas en miembros estructurales debido a cargas muertas o fijas. Se mostró que los diagrama de fuerza cortante y momentos flectores nos representan la variación de esas cargas en un miembro. Sin embargo si una estructura esta sometida a una carga viva o móvil, la variación de la fuerza cortante y del momento flector en el elemento se describe mejor usando las líneas de influencia por esta razón las líneas de influencias juegan un papel importante en el diseño de puentes, bandas transportadoras y en otras estructuras donde las cargas se mueven a lo largo de su luz.
El presente trabajo se encamina al desarrollo tanto teórico como como practico de las líneas de influencia el cual consta de definiciones básicas del tema y los ejercicios de aplicación están desarrollados acorde con el marco teórico.


I.-GENERALIDADES

1.1.-OBJETIVOS:

· El objetivo prioritario de esta tarea es obtener los conocimientos básicos de líneas de influencia para poder aplicar correctamente los conocimientos en el diseño de estructuras que resisten cargas vivas.
· Aplicar correctamente las líneas de influencia a ejercicios, para realizar su respectiva evaluación y resolución.
· Entender la importancia del tema en el análisis de estructuras sometidas a cargas móviles y a cargas movibles.

1.2.-LIMITACIONES DEL TRABAJO

· El presente trabajo se limita a tocar el tema de líneas de influencias solo para estructuras estáticamente determinadas tanto en el marco teórico como en los ejemplos de aplicación.
· No se tomara en cuenta líneas de influencia para estructuras hiperestáticas ya que es un tema amplio que requeriría de otro trabajo para entrar más en profundidad en el tema.

1.3.-JUSTIFICACIÓN

· Los conocimientos adquiridos en este capitulo permitirán al estudiante de ingeniería civil tener los conocimiento fundamentales para diseñar estructuras sometidos a cargas móviles o movibles (cargas vivas) con en el caso de los puentes.
· Por otra parte es importante conocer de este tema ya que las líneas de influencia nos permite detectar muy fácilmente que porciones de estructura se deben cargar para obtener una máxima respuesta lo cual resulta muy útil para hacer el análisis ya que simplifican los cálculos.

1.4.-GLOSARIO DE TÉRMINOS
· Sistemas Isostáticos.- Elementos estructurales que se pueden resolver con las ecuaciones de la estática.
· Sistemas Hiperestáticos.-Elementos estructurales que contienen mas incógnitas que las ecuaciones que nos brinda la estática, y que se resuelven usando leyes especiales.

II.-MARCO TEÓRICO

LÍNEAS DE INFLUENCIA

2.1.- CONSIDERACIONES GENERALES

Si bien en el tratamiento del tema, por simplicidad nos referimos a casos de vigas, la generalización a otros tipos de estructuras es casi inmediata y no requiere de nuevos conceptos a los necesarios en nuestro tratamiento.
La posibilidad de cargas móviles implica la necesidad de obtener:

a) las solicitaciones, deformaciones, etc., que produce una carga (o un estado de cargas) para distintos puntos de aplicación de la misma.
b) El estado más desfavorable de aplicación de la carga, que trae aparejada las mayores solicitaciones o deformaciones, y con las cuales tiene que ser evaluada una sección dada. Estas dos necesidades deben ser tenidas en cuenta en todas la s secciones de la viga, o por lo menos, en varias secciones características según las circunstancias.

El trazado de diagramas o Líneas de Influencia nos permite una adecuada respuesta a las dos necesidades y su utilización es casi imprescindible en el caso de estudios de puentes, puentes grúa, etc., donde las cargas móviles (p) tienen una cierta importancia con respecto a peso propio o carga permanentes (g).

2.2.-DEFINICIÓN

La línea de influencia puede definirse como una gráfica cuyas ordenadas representan la magnitud y el carácter o sentido de cierta función o efecto en una estructura, a medida que una carga unitaria móvil se desplaza a lo largo de la misma. Cada ordenada del diagrama define el valor de la función cuando la carga móvil se encuentra colocada en el sitio correspondiente a dicha ordenada.

El concepto de línea de influencia, fue utilizada por primera vez por el profesor E. Winkler de Berlín, en 1876. Estas nos muestran gráficamente la forma en que el movimiento de una carga unitaria a lo largo de una estructura, influye en cierto efecto mecánico en la misma. Entre los efectos que pueden considerarse están las reacciones, fuerzas cortantes, momentos flexionantes, fuerzas axiales, deflexiones, etc.
Lo anteriormente dicho se puede explicar mejor en el siguiente gráfico

2.3.-TRAZADO DE LAS LÍNEAS DE INFLUENCIA

El procedimiento para dibujar los diagramas de la línea de influencia consiste simplemente en la graficación de los valores de la función en estudio, como ordenadas correspondientes diversas posiciones de la carga unitaria a lo largo del claro, y, finalmente, en unir por líneas los extremos de dichas coordenadas.
Por lo tanto se debe seguir mentalmente a la carga en su movimiento a lo largo del claro, tratando de imaginar que sucede cuando se desplaza al efecto que se considera. El análisis por líneas de influencia puede aumentar inmejorablemente el conocimiento de lo que sucede a una estructura en diferentes condiciones de carga.

2.4.-LÍNEAS DE INFLUENCIA EN SISTEMAS ISOSTÁTICOS

Las líneas de influencia en sistemas isostáticos se pueden analizar en tres campos de aplicación:

- Líneas de influencia para reacciones en vigas simples
- Líneas de influencia para fuerzas cortantes en vigas simples.
- Líneas de influencia para momentos flexionantes en vigas simples.

2.4.1.-LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA REACCIONES EN VIGAS SIMPLES

Las líneas de influencia que corresponden a las reacciones se muestran en la figura A. Inicialmente se toma en cuenta el cambio de la reacción en el extremo izquierdo, VI, a medida que la carga unitaria se desplaza de izquierda a derecha a lo largo de la viga. Cuando esta directamente sobre el apoyo izquierdo es igual a 9/10, o bien 0.9 (por proporción entre distancias), cuando se encuentra 2m a la derecha V1 es igual a 8/10 ó 0.8, y así sucesivamente. Se muestra en la figura los valores de V1 para intervalos de 1m en la aplicación de la carga unitaria a lo largo de la viga. Por cada intervalo de 1m la ordenada varía en 0.1. En cada uno de las posiciones de la carga citada, la suma de las ordenadas en cualquier punto es 1 (Por la condición de equilibrio ciertamente tiene que ser así).

APLICACIÓN AL CÁLCULO DE REACCIONES

Deseamos la L. de I. de RA que denominamos con RA. Eliminamos el apoyo A, colocamos el esfuerzo correspondiente al vínculo suprimido, y damos un desplazamiento ∆A en el apoyo al mecanismo formado. Por aplicación del principio de los trabajos virtuales

Donde vemos que RA es proporcional a la coordenada , o sea que en una determinada escala puede representar el valor de RA para una carga unitaria aplicada en i, dónde se puede incorporar como factor de escala.

2.4.2.- LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA FUERZAS CORTANTES EN VIGAS SIMPLES

En la figura B se grafican las líneas de influencia para cortante en las secciones específicas de una viga simple. Se utiliza la convención de signos usual, la fuerza cortante v es (+) cuando la suma de las fuerzas transversales a la izquierda de una sección va hacia arriba, o bien, cuando la suma de fuerzas a la derecha de la sección, va hacia abajo. Si la carga unitaria se coloca sobre el apoyo izquierdo no causa cortante en ninguna de las dos porciones. Al mover la carga unitaria 1m a la derecha del apoyo izquierdo, se obtiene una reacción izquierda de 0.9, y la suma de las fuerzas a la izquierda de la sección 1-1 vale 0.1 hacia abajo, o sea que la fuerza cortante es -0.1. Si el movimiento de la carga unitaria continúa a lo largo de la viga y hacia el apoyo derecho, se ocasionan cambios en los valores de cortante en la sección 1-1. Estos valores se han graficado para intervalos de 1m en la posición de la carga móvil. La línea de influencia para la fuerza cortante en la sección 2-2 se obtiene de la misma manera.

FIGURA B

APLICACIÓN AL CÁLCULO DE FUERZAS CORTANTE

Para el esfuerzo de corte QH eliminamos un vínculo al introducir en H-H un mecanismo como el siguiente:
Aplicando el principio de trabajos virtuales:

C.-LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA MOMENTOS FLEXIONANTES EN VIGAS SIMPLES
En la figura C se presentan las líneas de influencia para momentos flexionantes, en las mismas secciones de la viga de la figura B que sirvió para ilustrar lo relativo a las fuerzas cortantes. Recuérdese que un momento flexionante positivo produce tensión en las fibras inferiores de la viga, y se presenta en una sección determinada cuando la suma de los momentos de todas las fuerzas a la izquierda, es en sentido del reloj, o bien, cuando la suma de los momentos de las fuerzas a la derecha, es en sentido contrario. Los momentos flexionantes en las secciones se toman a intervalos de 1m para la posición de la carga móvil.

Con esto debe quedar bien claro cual es la principal diferencia entre los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante, en comparación con los diagramas de influencia.

Un diagrama de influencia para cortante o flector muestra la variación de estos efectos en un segmento o tramo de una estructura, causada por el movimiento de una carga unitaria desde un extremo a otro de una estructura.

FIGURA C

APLICACIÓN AL CÁLCULO DE MOMENTOS FLEXIONANTES

Deseamos la L. de I. del Mfh en la sección HH. Para ello eliminamos el vínculo que transmite el momento en dicha sección introduciendo una articulación. A la cadena cinemática formada, doy un desplazamiento virtual y aplico el principio de trabajos virtuales después de explicitar el Mfh en la sección (+ tracción abajo).

Con las mismas condiciones anteriores podemos decir que el diagrama cinemático es en una determinada escala la línea de influencia buscada.

LINEAS DE INFLUENCIAS CUALITATIVAS

En 1886, Heinrich Mujer – Breslau desarrollo un procedimiento para construir rápidamente la forma de una línea de influencia. Se le llama el principio de Heinrich Muller – Breslau y establece que la línea de influencia para una función (reacción, fuerza cortante o momento) es, a la misma escala la forma reflexionada de a viga cuando sobre esta actúa una la función.

Para dibujar la forma defeccionada apropiadamente, la capacidad de la viga para resistir la función debe retirarse de manera que la viga pueda deflexionarce cuando se aplica la función. Por ejemplo considere la viga en la “figura 1”. Si va a determinarse la línea de influencia para la reacción vertical en A, el pasador se desplaza primero por un rodillo guiado que se muestra en la figura 1, se requiere un rodillo guiado ya que la viga debe resistir aun la fuerza horizontal en A pero ninguna fuerza vertical. Cuando reaplica entonces la fuerza positiva ( hacia arriba) Ay en A, la viga asume la posición indicada por la línea interrumpida que representa la forma general de la línea de influencia para Ay. Si va determinarse la línea de influencia para la fuerza cortante en C, figura 2, la conexión en C puede simbolizarse como un rodillo guiado como se muestra en la figura 2.

Figura 1.

Figura 2

Este dispositivo resistirá un momento y una fuerza axial pero ninguna fuerza cortante
.si aplicamos un fuerza cortante positiva Vc a la viga en C y permitimos que la viga asuma la posición indicada por la línea cortada encontramos la forma de la línea de influencia que se muestra en la figura 2. Finalmente, si va a determinarse la forma de la línea de influencia para el momento en C, FIGURA 3, se col oca un pasador o articulación interna en c ya que esta conexiones resisten fuerzas axiales y cortantes, pero no puede resistir un momento figura 3. Aplicando momentos positivos Mc a la viga, esta sufrir una deflexión según la línea interrumpida, que es la forman de la línea de influencia, figura 3.

Figura 3

EJERCICIOS DE APLICACION

EJEMPLO 1) Construya la línea de influencia para el momento en el punto C de la viga en la figura.

SOLUCION

Calculo de ecuaciones de la línea de influencia.

GRAFICANDO:

EJEMPLO 2 ) Determinar el momento máximo positivo que puede desarrollarse en el punto C sobre la viga mostrada en la figura debido a una carga viva de 8000Kg, una carga viva uniforme de 3000 Kg/m y el peso de la viga (carga muerta ) de 1000Kg

SOLUCION:

La línea de influencia para el momento C se ha obtenido ya en el ejemplo anterior.

Fuerza concentrada: La carga viva de 8000Kg debe colocarse en X = 4m para obtener un máximo momento positivo Mc.


Mc = 2 (8000) = 16 Ton - m


Carga viva uniforme: La carga viva uniforme de 3000Kg / m debe colocarse sobre la viga entre X = 0 y X= 8 para obtener un momento máximo positivo Mc.


Mc = (8) (2) (300)/ 2 = 24 Ton - m


Carga muerta uniforme: se requiere que la carga muerta uniforme de 1000Kg/m Actúe sobre toda la longitud de la viga. Podemos encontrar el momento en c debido a esa carga usando el método de las secciones y la estática, o bien por conveniencia podemos usar líneas de influencia. En este caso debe usarse el área tota de la línea de influencia. Como el área de X = 8 a X = 12 es negativa, tenemos.


Mc = [(8)(2)/2 – ( 12 – 8 )(2)/ 2] 1000 = 4 Ton –m

Momento total máximo en C:

(MC) max = 16 + 24 + 4 = 44 Ton.m


Conocida la posición de las cargas vivas usando la línea de influencia puede también encontrándose usando la estática y el método del las secciones

EJEMPLO 03) – Determine el momento positivo máximo que puede desarrollarse en el `punto D en la viga mostrada debido a una carga concentrada de 4000 lb, una carga viva uniforme de 300 lb/ pie y una carga muerta de 200 lb/ pie.

SOLUCION:

· Se coloca la articulación en D y se aplican los momentos positivos MD a la viga. La forma deflexionada a la correspondiente línea de influencia se muestran en la siguiente figura.
· Graficado la línea de influencia inmediatamente vemos que la carga viva concentrada de 4000 lb crea un momento máximo en el punto D ( X = 15 pie) Cuando se coloca en D, esto es, en la máxima ordenada de la línea de influencia. Además la carga viva uniforme 300 lb/ pie debe extenderse entre X = 10 y X = 25 para cubrir la región donde el área de la línea de influencia es positiva. Y finalmente la carga muerta 200 lb/pie actúa sobre toda la longitud de la viga.

· Conociendo la posición de las cargas podemos ahora determinar el momento máximo en D usando la estática.

MD + 5000(10) – 4750(10) = 0

MD = 22.5 Klb.m

EJEMPLO 04 ) Determina la máxima fuerza que puede desarrollarse en el miembro BC de la armadura del puente mostrada en la figura, debido a una carga concentrada de 20 klb y una carga viva uniforme de 0.6 klb/ pie. La caga aplica en la cuerda superior.

SOLUCION:

En este ejercicio se utiliza el método de las secciones para los cálculos de la fuerza de la barra BC producida por la carga unitaria. Por ejemplo cuando la carga unitaria esta en el nudo” I “(x = 20pie), se determinara primero la reacción Ey. Luego se secciona la armadura a través de BC y aísla el segmento derecho .se obtiene FBC
Sumando momento respecto a H. de manera similar se determinan los otros valores en la figura.

GRAFICANDO LA LINEA DE INFLUENCIA:

GRAFICANDO LA LINEA DE INFLUENCIA:

FUERZA DE CARGA CONCENTRADA: la fuerza mas grande en el miembro BC se genera cuando la fuerza viva concentrada de 20 klb se coloca en X = 40 pie. Así:

FBC = (1.33) (20) = 26.7klb





CARGA VIVA UNIFORME: la carga viva uniforme debe colocarse toda la cubierta de la armadura para generar la máxima fuerza de tensión en BC.

FBC = (80)(1.33)(0.6)/2 = 32.00Klb.p


FUERZA TOTAL MAXIMA:


(FBC)max = 26.7 + 32.0 = 58.7 Klb